振幅与黎曼Zeta函数 - Grant N. Remmen

摘要

本文将散射振幅的物理性质与黎曼Zeta函数对应起来。具体而言，我们构建了一个闭合形式的振幅，它描述了一个质量塔的树级交换过程，其质量满足 $m_n^2 = \mu_n^2$，其中 $\zeta\left(\frac{1}{2} \pm i\mu_n\right) = 0$。要求质量为实数对应于黎曼猜想，振幅的局域性对应于Zeta函数的亚纯性，而大质量态与无质量态之间的普适耦合则对应于 $\zeta$ 函数零点的单阶性。前向散射振幅的色散关系所带来的幺正性界限，则转化为 $1/\mu_n^2$ 序列奇数矩的正定性。

引言

黎曼Zeta函数是数论中的核心研究对象，其定义为：

$$ \zeta(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1 - p^{-z}} \quad (1) $$

此定义在 $\text{Re}(z) > 1$ 时成立，并通过解析延拓扩展到整个复平面。该函数处处解析，仅在 $z=1$ 处有一个对应于发散调和级数的单极点。尽管Zeta函数在数学和物理学中（从数论到路径积分）都至关重要，但许多问题仍悬而未决。其中，其零点的位置尤其引人关注。

根据函数方程：

$$ \zeta(z) = 2^z \pi^{z-1} \sin(\pi z/2) \Gamma(1-z) \zeta(1-z) \quad (2) $$

$\zeta(z)$ 在负偶数整数处有平凡零点，但它还拥有无穷多个非平凡零点。目前已知的数以万亿计的非平凡零点都位于临界线上，即对于实数 $\mu$，满足 $\zeta\left(\frac{1}{2} \pm i\mu\right) = 0$。（本文中，我们取 $\text{Re}(\mu) > 0$：$\mu_1 \approx 14.135, \mu_2 \approx 21.022$，依此类推）。“所有非平凡零点的实部均为 $1/2$”这一猜想，即黎曼猜想，是数学中最著名、最基本的未解难题之一，对素数的渐近分布具有重要影响。其他开放性问题包括所有非平凡零点是否都是单阶的，以及零点的统计性质和 $\zeta$ 函数在临界线上的渐近行为。

在本文中，我们将把包括黎曼猜想在内的Zeta函数性质与散射振幅联系起来。将Zeta函数的数学性质与一个物理系统相联系的想法可以追溯到一个世纪前的希尔伯特-波利亚猜想，该猜想认为 $\mu_n$ 对应于某个量子力学哈密顿量的本征值。尽管在寻找这样一个算符以及识别与物理学的其他联系方面已有很多工作，但在相对论性散射振幅的背景下，对Zeta函数的研究相对较少。

将一个引人注目的数学对象重新诠释为一种振幅——在找到其哈密顿量之前，并以此为指导来发展新的、有趣的物理学——这一研究纲领有着著名的先例。委内瑞亚诺将欧拉Beta函数视为一个散射振幅，而寻找产生此振幅的物理系统最终导致了弦理论的发展。实际上，Zeta函数的非平凡零点结构并未在这些理论中扮演核心角色。这便提出了一个问题：是否存在一个其结构依赖于 $\zeta$ 函数非平凡零点的散射振幅？

这正是本文将要回答的问题。我们将构建一个紧凑、闭合形式的散射振幅 $M(s, t)$，其各种物理性质与黎曼Zeta函数的（已知或猜想的）属性之间存在着优雅的对应关系。

构建振幅

我们定义一个单复变函数 $s$ 的函数 $A(s)$：

$$ A(s) = -\frac{i}{4\sqrt{s}}\left(\psi\left(\frac{1}{4} + \frac{i}{2}\sqrt{s}\right) + \frac{2\zeta'\left(\frac{1}{2} + i\sqrt{s}\right)}{\zeta\left(\frac{1}{2} + i\sqrt{s}\right)}\right) + \frac{i\log\pi}{4\sqrt{s}} - \frac{1}{s + \frac{1}{4}} \quad (3) $$

其中 $\zeta'(z) = d\zeta(z)/dz$，$\psi(z)$ 是双伽玛函数。利用朗道-黎曼 $\Xi(z)$ 函数，我们可以将 $A(s)$ 写成一个非常紧凑的形式：

$$ A(s) = -\frac{d \log \Xi(\sqrt{s})}{ds} \quad (4) $$

然后，我们使用 $A(s)$ 来定义一个描述无质量粒子四点散射的振幅，以曼德尔施塔姆变量 $s, t, u$ 表示（其中 $u = -s - t$）：

$$ M(s, t) = A(s) + A(u) \quad (5) $$

我们将看到，$M(s, t)$ 拥有散射振幅的所有标准性质——幺正性、解析性和局域性，并描述了在 $s$ 和 $u$ 通道中，质量谱为 $m_n = \mu_n$ 的重粒子塔的树级交换。由于 $\Xi(z)$ 是整函数，其根对应于Zeta函数的零点，且满足 $\Xi(z) = \Xi(-z)$，因此 $A(s)$ 是亚纯函数，其单极点位于 $s = \mu_n^2$。这些极点对应于Zeta函数的非平凡零点 $\zeta(\frac{1}{2} + i\mu_n) = 0$。

图1：函数 $A(s)$ 的交互式可视化。$A(s)$ 是亚纯的，其极点位于 $s=\mu_n^2$，对应于黎曼Zeta函数的非平凡零点。此图近似展示了$|A(s)|$在实轴上的行为，显示了前几个零点造成的极点。

我们的振幅表现为一系列树级交换，其质量谱 $m_n$ 与黎曼Zeta函数的非平凡零点 $\mu_n$ 一一对应：

$$ m_n = \mu_n \quad (9) $$

对于一个由 $M(s, t)$ 描述散射的理论，黎曼猜想就变成了谱中在壳态质量必须为实数的物理要求。如果所有Zeta函数的非平凡零点都是单阶的（正如所猜想的），那么振幅中的大质量态与散射态之间存在一种普适耦合。振幅的局域性，即在每个极点附近 $A(s) \sim 1/(-s + \mu_n^2)$，则由Zeta函数是亚纯的（没有本性奇点）这一事实来保证。

解析色散关系

来自良好紫外完备理论的红外有效场论中的前向振幅，已知具有源于解析色散关系的正定性。特别地，如果 $M(s, t)$ 确实是一个振幅，我们应该发现：

$$ \lim_{s\to 0} \frac{d^{2k}}{ds^{2k}} M(s, 0) > 0 \quad (10) $$

对于所有 $k > 0$ 均成立。这是解析性和幺正性的经典推论。通过计算一个围绕原点的围道积分，我们可以将 $s=0$ 附近的泰勒展开系数 $c_{2k}$ 与物理量联系起来。光学定理（即幺正性）和交叉对称性意味着 $c_{2k}$ 是正定的，并且可以表示为Zeta函数零点的和：

$$ c_{2k} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\mu_n^{2(2k+1)}} \quad (13) $$

黎曼猜想将意味着 $c_{2k}$ 的正定性，这正是幺正性和解析性所要求的。这是一个对 $M(s, 0)$ 解析和渐近结构的非平凡检验，证实了它确实像一个前向振幅。例如，对于 $k=0$ 和 $k=1$：

$$ c_0 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\mu_n^2} \approx 4.6210 \times 10^{-2} $$ $$ c_2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\mu_n^6} \approx 2.8835 \times 10^{-7} $$

这个振幅构造使得我们可以通过物理方式推导出这些非凡的恒等式。

图2：$M(s, 0)$ 在 $s=0$ 附近的泰勒级数。所有 $M(s, 0)$ 在 $s=0$ 处的偶数阶导数都是正的，这既是前向振幅的解析性/幺正性要求，也与黎曼猜想相对应。交互式图表展示了不同阶数的近似。

在壳可构造性

我们发现的 $A(s)$ 的性质表明，我们的振幅 $M(s, t)$ 描述了两个无质量标量通过交换一个质量塔（质量为 $m_n^2 = \mu_n^2$）进行散射的过程，其耦合是常数且与动量无关。这意味着我们的振幅 $M(s, t)$ 可以由三点振幅在壳构造出来。函数 $A(s)$ 等价于：

$$ A(s) = \sum_{n} \frac{1}{-s + \mu_n^2} \quad (15) $$

因此，总振幅为：

$$ M(s, t) = \sum_{n} \left( \frac{1}{-s + \mu_n^2 - i\epsilon} + \frac{1}{-u + \mu_n^2 - i\epsilon} \right) \quad (16) $$

这一形式的推导依赖于刘维尔定理，并且它揭示了一个深刻的联系：振幅的在壳可构造表达式给出了Xi函数的哈达玛乘积展开。这进一步加强了物理性质和数学结构之间的对应关系。

讨论

Zeta函数还拥有其他性质，可以映射到该散射振幅的物理特征上。例如，其零点关于实轴和临界线 $\text{Re}(z)=1/2$ 的对称性，是施瓦茨反射原理和函数方程的结果。这种关于临界线的零点对称性确保了振幅 $M$ 遵守CPT定理。

我们对 $M(s, t)$ 的构造提出了各种有趣的推广方向。例如，通过引入动量依赖性来编码交换粒子的自旋，或者构建与任意狄利克雷L函数（Zeta函数是其特例）相对应的振幅。这样做会改变质量谱，而广义黎曼猜想将与这些新质量的实数条件联系起来。

总而言之，本文构建的振幅为希尔伯特-波利亚问题提供了一个新的视角，并暗示寻找一个能够自然地再现我们 $M(s, t)$ 形式的物理理论，可能会为解决黎曼猜想提供一条途径，并在此过程中带来有趣的物理洞见。